Deterministički kaos

[Meteor]

Može li kaos biti deterministički, ako znamo da je determinizam određenost, a kaos nešto sasvim suprotno - krajnja neodređenost, zbrka, nered?!

Pokušat ću to jednostavno i ukratko objasniti.

Izraz "deterministički kaos" je pokušaj "duhovitog" opisa rezultata rješavanja određenih matematički nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Takav tip jednadžbi počeo se rješavati tek nakon otkrića i usavršavanja elektronskih računala. U spomenutim jednadžbama razmatraju se vremenske i prostorne promjene raznih varijabli, a te se promjene mogu izračunati samo približno u tzv. "konačnim" koracima pomoću kompjutera.
Takvim postupkom numeričke integracije služe se danas razni modeli, koji prate promjene stanja u prirodi i društvu.
Ako se model osniva na samo nekoliko nelinearnih diferencijalnih jednadžbi, onda se radi o niskodimenzionalnom sistemu, koji se relativno lako rješava numeričkom integracijom.

I sada smo već blizu odgovora.

U tim jednadžbama, uz promijenjive varijable, nalaze se i veličine zvane parametri, koje se ne mijenjaju tijekom rješavanja jednadžbi.
Integrirajući jednostavni sistem od 3 nelinearne jednadžbe, prije nekih 50-tak godina meteorolog i matematičar E. Lorenz iznenadio se, jer su se rješenja prvo ponašala lijepo i "pristojno", tako da ih se moglo pratiti, a onda su bez vidljivog razloga počela "divljati" tj. mijenjati se tijekom daljnje integracije krajnje nepravilno - kaotično.
Daljnja ispitivanja jednadžbi otkrila su da pojava kaotičnog ponašanja ovisi o vrijednosti parametara u sistemu jednadžbi, ondosno u modelu.
Prema tome, pojava kaosa je unaprijed određena odabranim vrijednostima parametara, dakle taj je kaos determiniran zakonima početnog sistema jednadžbi.

To je "deterministički kaos".

Njegovoj pojavi posvećeno je mnogo matematičkih ispitivanja, a čitava priča proširila se dalje na primjenu tog pojma na prirodu i društvo, prelazeći često u domenu filozofskih razmatranja.
Da li je kaos, koji uočavamu u društvu, u prirodi pa i u sebi, slučajna pojava ili je također unaprijed određen tj. determiniran?
Da li su i za njega skrivene neke zakonitosti, koje ne znamo i da li bi nam poznavanje tih zakonitosti pomoglo da spriječimo pojavu kaosa?
Ili je, možda, pojava kaosa potrebna da se ponovno uspostavi "poljuljana" ravnoteža u npr. društvu?

Eto, do čega nas može dovesti čak jedostavnih matematičkih jednadžbi, a što je tek s onima koje su komplicirane?!

[Apemant]

Može li kaos biti deterministički, ako znamo da je determinizam određenost, a kaos nešto sasvim suprotno - krajnja neodređenost, zbrka, nered?!

Pa da, izraz 'deterministički kaos' je namjerno pomalo 'oksimoronski'.

Time se upravo želi i istaknuti paradoksalnost same teorije kaosa. Naime, TO zaista 'izgleda' kao 'kaos' - premda jasno vidiš da je potpuno determiniran (ergo, nije 'zbilja' kaos). Nadalje, to je teorija koja zvuči užasno 'suvislo' i 'istinito' - ali je 'nedokaziva'. Da bismo je dokazali, trebala bi nam 'beskonačna' preciznost realnih brojeva, a to nemamo na raspolaganju, nego samo brojeve određene decimalne preciznosti.

Teorija kaosa ima vrlo interesantne filozofske implikacije, zato je obožavam.

Kao i fraktale, npr. Mandelbrotov skup - koji nastaje nevjerojatno jednostavnom iterativnom jednadžbom z(n+1) = z(n)^2 + c. Onako, misao se zablokira kad pokušaš 'shvatiti' kako je moguće da takva trivijalna jednadžba generira nešto poput ovog gore (BTW, za 'full appreciation' tog skupa, potrebno je malo zumirati po njemu, ovako na ovoj slici ne vidiš ni 2% 'čudesa' tog skupa).

[i-s-l-a-m-i-c]

Pitanje:

A sto je sa stvarima koje nam se sada cine kao "kaos" a vremenom ih shvatimo? Kolika je nasa snaga da uopce mozemo nesto definirati kao "kaos"? Je li kaos sve sto mi ne mozemo pojasniti?



Nadam se da nisam pogrijesio pri postavljanju pitanja, odgovori me jako zanimaju...

[Meteor]

Pa da, izraz 'deterministički kaos' je namjerno pomalo 'oksimoronski'.

Time se upravo želi i istaknuti paradoksalnost same teorije kaosa. Naime, TO zaista 'izgleda' kao 'kaos' - premda jasno vidiš da je potpuno determiniran (ergo, nije 'zbilja' kaos). Nadalje, to je teorija koja zvuči užasno 'suvislo' i 'istinito' - ali je 'nedokaziva'. Da bismo je dokazali, trebala bi nam 'beskonačna' preciznost realnih brojeva, a to nemamo na raspolaganju, nego samo brojeve određene decimalne preciznosti.

Teorija kaosa ima vrlo interesantne filozofske implikacije, zato je obožavam.

Kao i fraktale, npr. Mandelbrotov skup - koji nastaje nevjerojatno jednostavnom iterativnom jednadžbom z(n+1) = z(n)^2 + c. Onako, misao se zablokira kad pokušaš 'shvatiti' kako je moguće da takva trivijalna jednadžba generira nešto poput ovog gore (BTW, za 'full appreciation' tog skupa, potrebno je malo zumirati po njemu, ovako na ovoj slici ne vidiš ni 2% 'čudesa' tog skupa).

Jedan od uzroka pojave determinističkog kaosa stvarno je u nemogućnosti da se postigne "beskonačna" preciznost u ulaznim podacima u modele. Međutim, tu nastaje novi problem. Kada bi se postigla takva preciznost, ona nas vodi u svijet kvantne mehanike, a tu postoji dokazana (tako bar kažu) matematička relacija (Heisenbergov princip) prema kojoj najveća točnost, što je umnožak dviju veličina može realno imati, mora biti veća od zadanog broja (u kome se nalazi Planckova konstanta).
No, tada ulazimo u svijet mikrokozmosa, a mi se nalazimo negdje između zvjezdanog kozmosa i mikrokozmosa pa ovakve krajnosti ne spadaju u naš "međusvijet".

Jedan od načina utvrđivanja da li je kaos deterministički ili "normalan" kaos - prava zbrka, jest da se numeričkom integracijom sistema nelineranih jednadžbi prate stanja procesa, što ga jednadžbe opisuju.
Ako nakon dovoljno duge numeričke integracije (što je to "dovoljno" treba ispitati u svakom pojedinom slučaju) trajektorije, koje prate ta stanja ne odlutaju bilo gdje u prostoru svih mogućih stanja, nego se zadržavaju samo u jednom dijelu prostora, kojeg nazivaju atraktor, onda se radi o determinističkom kaosu. Ti atraktori često mogu imati neobične oblike pa ih zovu fraktali i u tom se slučaju družimo s Mandelbrotom. A fraktali su, imaš pravo, ponekad izvanredno lijepi, a ponekad zastrašujući.

[Meteor]

Pitanje:

A sto je sa stvarima koje nam se sada cine kao "kaos" a vremenom ih shvatimo? Kolika je nasa snaga da uopce mozemo nesto definirati kao "kaos"? Je li kaos sve sto mi ne mozemo pojasniti?



Nadam se da nisam pogrijesio pri postavljanju pitanja, odgovori me jako zanimaju...

Ova tvoja pitanja su u potpunsti filozofska, ali ništa se tome ne čudim, jer deterministički kaos, unatoč matematici koja ga proučava, vrlo često ulazi u filozofske vode.
No, pokušat ću reći svoje mišljenje, premda nisam filozof.
Ako snagom svoje volje uspijemo shvatiti kaos, onda je to možda upravo deterministički kaos i možda onda i nije tako opasan, odnosno neugodan, naprosto zato jer znamo što je do njega dovelo (to je kao u matematici - jednadžbe, koje su ga determinirale).
Drugi je slučaj s pravim kaosom tj. pravim neredom u kojem se nećemo moći snaći i nećemo pronaći nikakve zakone, odnosno uzroke, koji su do njega doveli. Možda takav "pravi kaos" uopće i ne postoji.
Dakle, ako kaos možemo pojasniti, onda je to deterministički kaos, a ako ne možemo, onda je to "pravi kaos", koji često izjednačuju sa slučajnim procesima.

[Apemant]

Meni osobno su jednako 'zastrašujuće' ideje i determinizma, i slučajnosti (na fundamentalnoj razini).

[tehuti]

Ordo ab chao, chao ab ordo.

Red je u kaosu, kao što je i kaos u redu.

Vjerojatno je primjenjivo i na društvene i na prirodne znanosti.

[Ajant]

Meni je upravo zato najdraža od mitologija ona starih Grka. Po njihovom vjerovanju (iako ima više verzija) sve je nastalo iz Kaosa (prvo Uran, Eros i Geja - ovisno o autoru).

A teorija determinističkog kaosa je također zanimljiva, iako mi sama matematika nije.

[tehuti]

Meni je upravo zato najdraža od mitologija ona starih Grka. Po njihovom vjerovanju (iako ima više verzija) sve je nastalo iz Kaosa (prvo Uran, Eros i Geja - ovisno o autoru).

A teorija determinističkog kaosa je također zanimljiva, iako mi sama matematika nije.

Slično je i u egipatskoj mitologiji:

U početku je samo postojao primordijalni ocean - Nun. Iz njega su emanirala razna božanstva, odnosno sile i zakoni kozmosa. Nun je ekvivalent kaosu koji predstavlja samo nemanifestirani potencijal.

[Meteor]

Matematičari su otkrili kaos kakav može proizvesti jednostavan sistem običnih diferencijalnih jednadžbi. No, to je bio samo početak.
Diskusije i studije u toj pojavi počele su se naglo širiti u mnogim domenama ljudskih razmišljanja i aktivnosti. Bitno je pritom razlučiti kaos, koji je determiniran, i slučajnost (nasumičnost), koju možemo proučavati samo pomoću vjerojatnosti nastupa.

Među različitim proučavanjima kaosa meni je posebno interesantna primjena teorije kaosa u nekim tehnologijama, u kojima se kaos pokušava kontrolirati. Naime, iako je kaotično ponašanje vrlo slično nasumičnom, ovo drugo se ne može kontrolirati i tu je osnovna razlika među njima.

Zgodan je primjer u laserskoj tehnologiji. Upotrebom određenog kristala može se infracrvena svjetlost, generirana laserom, prevesti u zelenu s duplo manjom valnom duljinom (tj. duplo većom frekvencijom titraja). Međutim, promjena odnosno variranje orijentacije takvog (duplicirajućeg) kristala u odnosu na lasersku zraku može izazvati kaotične fluktuacije zelenog svijetla. Znajući da ta pojava nije slučajna, nego ovisna o parametrima eksperimentra, ovo se kaotično ponašanje (koje, inače, nikako nije u skladu s izrazitom koherentnim laserskim zrakama) moglo kontrolirati odnosno ukloniti. Iskorištena su teoretska dostignuća u teoriji kaosa, prema kojima je dinamički sistem izrazito osjetljiv na ulazne podatke, kao i činjenica da se kaotično ponašanje odvija unutar određenog atraktora mogućih kaoričnih stanja. Takav atraktor u ovom slučaju predstavlja kaotično titranje laserske zrake. Iskoristivši matematičke relacije izvedene za ovakve slučajeve, eksperimentatori su uspjeli, gotovo u potpunosti, eliminirati fluktuacije intenziteta laserskog sistema.

Opisana pojava (i njoj slične) ne bi se mogla riješiti da je bila slučajna i da nije već postojala matematička obrada kaotičnih atraktora.

Primjer atraktora:


Atraktor se sastoji od trajektorija, koje prate promjene kaotičnih stanja i stalno se zadržavaju u atraktoru.
Trajektorija je linija, koja opisuje povijest kaotičnih stanja i pokazuje njihovu promjenu tijekom vremena.